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Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible y ampliamente utilizados en muchas obras de ingeniería.
CABLES:
Los cables son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas en relación con la longitud, por los cual su resistencia es solo a tracción dirigida a lo largo del cable. La carga de tracción se divide por igual entre los hilos del cable, permitiendo que cada hilo quede sometido a la misma tensión admisible. (Salvadori y Heller, 1998; Beer y Johnston, 1977).
Forma que toma el cable según la carga.
TIPOS DE CABLES:
- Guaya galvanizado para cables de guayas paralelas de puentes. El diámetro recomendado 0,196 pulgada.
- Cordón galvanizado de puente: formado por varias guayas, de diámetros diferentes y unidos de forma enrollada.
- Cuerda galvanizada de puente: formada por seis cordones torcidos alrededor de un cordón central.
CABLES SUSPENDIDOS
Se dice que un cable es perfectamente flexible cuando no ofrece ninguna resistencia a la flexión. Un cable flexible no puede transmitir una fuerza más que a lo largo de su eje; en otras palabras, la tensión en un punto cualquiera es tangente a la curva asumida por el cable.
Si un cable está suspendido entre dos puntos y soporta una carga que está repartida monótonamente sobre la proyección horizontal de la curva funicular (forma curva que adopta un cable al ser sometido a una carga vertical), adopta una forma de parábola. En el siguiente estudio se supondrá que los puntos de los que está suspendido el cable se hallan en el mismo plano horizontal.
Consideremos un cable sujeto a dos puntos fijos A y B, que soportan “n” cargas agrupadas, como se muestra a continuación.
Suponiendo que el cable es flexible, es decir, que su resistencia a la flexión es pequeña y puede despreciarse y además que el peso del cable es poco, comparado con las cargas soportadas por él, entonces, cualquier porción de cable entre dos cargas sucesivas puede considerarse como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas; las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.
Suponiendo ahora que cada una de las cargas actúa a lo largo de una línea vertical dada, es decir, se conoce la distancia horizontal del soporte A, a cada una de las cargas; y conociendo también las distancias horizontal y vertical entre los soportes, se puede determinar la forma del cable, o sea, la distancia vertical de A, a cada punto, y también la tensión en cada porción del cable.
Se hace el diagrama de cuerpo libre de todo el cable.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio.
Como no se conocen las pendientes de las porciones de cable que se sujetan a A y B, cada una de las reacciones tanto en A como en B deben representarse por dos componentes. Por lo que se tendrán cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para calcular las reacciones en A y B. En consecuencia, se debe plantear una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable. Destacando que esto es posible si se conoce la coordenada X y Y del punto D del cable.
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción AD del cable.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio.
Obteniendo así una relación adicional que usando simultáneamente con
la ecuación (1) se pueden obtener las componentes rectangulares de la
reacción en A, y así aplicando las otras dos ecuaciones de equilibrio en el
primer diagrama se obtienen las componentes rectangulares de la reacción en B.
Sin embargo el problema seguirá siendo
indeterminado si no se conocen las coordenadas del punto D, o si no se
especifica alguna otra relación entre AX y AY (o entre BX y BY). El cable
pudiera colgar de varias maneras posibles, cuando AX y AY han sido calculadas,
las distancias vertical de A a cualquier punto del cable pueden encontrarse
fácilmente. Por ejemplo, considerando el punto C2.
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción A C2.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
De donde puede obtener el valor de Y2. Con las ecuaciones:
Se obtienen las componentes de fuerza T que representa la tensión en la porción de cable situado a la derecha del punto C2. Se observa que Tcos = -AX; la componente horizontal de la tensión T es la misma en cualquier punto del cable. Por lo tanto la tensión T es máxima cuando cos q es mínimo, es decir, en la porción del cable que tiene el máximo ángulo de inclinación debe ser adyacente a uno de los dos soportes del cable.
Dividiéndose en dos categorías:
* Cables que sostienen cargas distribuidas.
* Cables que soportan cargas concentradas.
CABLES SOMETIDOS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMEMENTE EN LA PROYECCIÓN HORIZONTAL
Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña.
La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola desde un extremo o desde el centro.
La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola desde un extremo o desde el centro.
Resolviendo desde el centro:
Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D se tiene que:
Esta ecuación define la altura del cable medido desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H se debe conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría, se tiene que:
, En donde el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga apoyada simplemente. Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado se aplica equilibrio a la sección indicada:
El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H.
CARGAS DISTRIBUIDAS A LO LARGO DE LA LONGITUD DEL CABLE
Cuando un cable soporta cargas distribuidas, estas se pueden considerar cargas concentradas suficientemente próximas,de tal manera que el cable adquirirá una forma curva(poligonal con infinito número de lados). Suponiendo inicialmente que la carga es uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tal es el caso de un puente colgante.
La tensión en cualquier punto de la cuerda es:
Haciendo w/H=c, una constante
Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal x
Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene
Y 
Integrando la función de y se obtiene (ver desarrollo en el libro de Beer, Johnston, Eisenberg)
Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.
Es un caso particular en el que la densidad de carga es constante. Podemos ver muchos ejemplos de este tipo de cables en la vida real (puentes y otras estructuras). Su configuración es la siguiente:
Ahora, teniendo en cuenta que la distribución w es constante, podemos particularizar las ecuaciones que rigen el comportamiento de este cable.
CABLE EN FORMA DE CATENARIAS
Se llama
catenaria la curva asumida por un cable de sección transversal uniforme,
suspendido entre dos puntos, que no soporta más carga que su propio peso, este
es el modelo de cable por excelencia, ya que aparece en una infinidad de casos
en la naturaleza. Por ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela
de araña. El concepto parece sencillo, sin embargo es el que contiene una mayor
carga matemática. El estudio de la catenaria tiene importancia
práctica únicamente en el caso de los cables en lo que la flecha es grande
en proporción a la luz, ya que en caso contrario la curva asumida por el cable
puede considerarse una parábola.
Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema:
Por último, hay que saber determinar la altura en cualquier punto del cable, lo que además es necesario para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es proporcional a su altura (T = cy).
CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS
Cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una línea vertical dad, esto es, que la distancia horizontal desde apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; además, también se supone que se conocen las distancias horizontal y vertical entre los apoyos.
Se busca determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos C1, C2………Cn y también se desea encontrar la tensión T en cada uno de los segmentos del cable.
Aquí unos Link de ejercicios resueltos:
